质谱基础知识 04：详解四极杆原理

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前言

在《质谱基础知识 03：质量分析器》中简单介绍了四极杆原理，这里再进行一些补充。此外限于个人能力，没能对离子运动的 Mathieu 方程进行推导，如有需要可以参阅《质谱分析技术原理与应用》相关章节。

四极杆结构

四极杆质量分析器，由四个平行的双曲面杆状电极组成，以两个电极为一组，分为 \(x\) 与 \(y\) 两组电极平行并对称于一中心轴排列。

每组电极由以下两种电压叠加组成：

  • 射频（Radio Frequency, RF）电压：20 kHz 到 300 GHz 的高频交流电，用 \(V \cos \omega t\) 表示；
  • 直流（DC）电压：用 \(U\) 表示，由于该电压在四极杆中用于选择离子，也被称为过滤直流电压（Filtering DC, FDC）；

其中一组电极为 \(U + V \cos \omega t\)；另一组电极相位与其相差 180°，表示为 \(-(U + V \cos \omega t)\)。

Figure 1. 四极杆示意图

  • \(U\)：直流电压（DC）
  • \(V\)：射频电压振幅（RF）
  • \(\omega\)：射频角频率
  • \(t\)：时间

此外，一些厂家的四极杆在 \(z\) 轴方向还施加一较低的直流电压，为离子提供轴向飞行的能量，该电压称为轴向补偿电压（Rod Offset Voltage, ROF）。

Mathieu 方程

Mathieu 方程是描述四极杆中离子运动的数学基础，其标准形式为

\[ \frac{d^2u}{d\xi^2}+\left(a-2q\cos2\xi\right)u=0 \]

Mathieu 方程的解受到参数 \((q, a)\) 控制，当 \((q, a)\) 位于稳定区时，方程的解 \((u, \xi)\) 是有界的；当 \((q, a)\) 位于不稳定区时，方程的解 \((u, \xi)\) 是无界的。

如果用 Mathieu 方程来描述一个系统的运动（位移 \(x\) 随时间 \(t\) 的变化），当参数 \((q, a)\) 位于稳定区时（Figure 2 中阴影部分），系统运动始终有界——无论过多久，位移都不会超过某个有限范围；当 \((q, a)\) 位于不稳定区时，系统通常会指数发散——随着时间推移，振荡幅度越来越大，最终趋于无穷。

Figure 2. Mathieu 方程稳定图（图中蓝色阴影部分为稳定区）

对于理想的双曲线四极杆电极，四极杆中离子在 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的运动可以分别整理成标准的 Mathieu 方程：

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + \frac{2ze}{mr_{0}^{2}}\left(U + V\cos\omega t\right)x = 0 \]

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}} - \frac{2ze}{mr_{0}^{2}}\left(U + V\cos\omega t\right)y = 0 \] 其中，

\[ q=q_{x}=-q_{y}=\frac{4zeV}{mr_{0}^{2}\omega^{2}} \]

\[ a=a_{x}=-a_{y}=\frac{8zeU}{mr_{0}^{2}\omega^{2}} \]

\[ \xi = \frac{\omega t}{2} \]

  • \(e\)：离子电荷（C）
  • \(m\)：离子质量（kg）
  • \(r_0\)​：四极杆半径（从中心轴到电极表面的距离，m）
  • \(U\)：直流电压（V）
  • \(V\)：射频电压振幅（V）
  • \(ω=2πf\)：射频角频率（rad/s）

在 \(x\) 轴方向，当对于给定电压参数 \((\frac{4zeV_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}}, \frac{8zeU_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}})\) ，当其位于 Figure 2 中稳定区时，离子在四极杆中的 \(x\) 方向是有界的。

在 \(y\) 轴方向，当对于给定电压参数 \((\frac{4zeV_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}}, \frac{8zeU_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}})\) ，由于

\[ q=q_{x}=-q_{y}=\frac{4zeV}{mr_{0}^{2}\omega^{2}} \]

\[ a=a_{x}=-a_{y}=\frac{8zeU}{mr_{0}^{2}\omega^{2}} \]

其稳定图与 \(x\) 轴的稳定图关于坐标原点中心对称，如 Figure 3 所示。

Figure 3. 对于给定电压参数 \((\frac{4zeV_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}}, \frac{8zeU_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}})\) 时，\(y\) 轴的稳定图

将 Figure 2 和 Figure 3 合并在同一坐标系上，蓝色阴影和绿色阴影重叠的部分（红色阴影），表示当给定电压参数 \((\frac{4zeV_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}}, \frac{8zeU_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}})\) 时位于此区域时，四极杆中的离子在 \(x, y\) 轴上都是有界的；而当电压参数 \((\frac{4zeV_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}}, \frac{8zeU_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}})\) 不在此区域时，离子运动轨迹最终会发散，撞上四极杆被中和。

Figure 4. 四极杆中离子稳定图

从 Figure 4 中可以看出，除了坐标原点附近的 \(x, y\) 轴稳定区外，还有多个较小的 \(x, y\) 轴稳定区，但这些稳定区对电压控制要求很高，同时考虑到尽可能使用较小的电压，四极杆中通常只利用坐标原点附近的第一稳定区。

Figure 5. 第一稳定区（红色阴影）

在第一象限，第一稳定区是由 \(a = 0\) 和另外两条曲线围成的类似三角形区域构成。电压参数 \((\frac{4zeV_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}}, \frac{8zeU_0}{mr_{0}^{2}\omega^{2}})\) 中包含了 \(m/z\) 项，将坐标系改为 \(U-V\) 时，随着 \(m/z\) 的增大，第一稳定区也在增大，如 Figure 6（图中 \(z=1\)）。

Figure 6. 不同 \(m/z\) 的稳定区

四极杆运行模式

四极杆作为一种离子过滤器，具体是如何实现功能的呢？单个四极杆有三种运行模式：

  1. RF-only（传输模式）：将直流电压 \(U\) 设为 0，只施加射频电压 \(V\)，如 Figure 6 中 B 点，所有 \(m/z \ge m_1/z_1\) 的离子都位于稳定区，在 \(z\) 轴的初速度或轴向补偿电压（ROF）作用下，都能通过四极杆，起到对大多数离子传输的作用。

  2. SCAN（全扫模式）：保持直流电压 \(U\) 和射频电压 \(V\) 的比值（\(U/V\)）恒定，同时随着时间线性地增加这两个电压的绝对值，如沿着 Figure 6 中 Scan Line 1 变化，四极杆的“稳定区”会按照时间顺序，依次让从小到大的 \(m/z\) 离子通过。操作线的斜率越接近稳定区尖端，质量选择性越佳，但能通过的离子数量也会变少。检测器记录下离子到达的时间（对应的 \((V, U)\)）和强度，最终绘制成质谱图。

  3. SIM（Selected Ion Monitoring，选择离子监控）：将 \(U\) 和 \(V\) 固定在特定的数值上，只允许一个（或一组）特定 \(m/z\) 的离子通过，其他离子全部被过滤掉。

References

  1. 台湾质谱学会 编著. 质谱分析技术原理与应用[M]. 北京：科学出版社, 2019.

  2. Introduction to mass analyzers : SHIMADZU (Shimadzu Corporation)

  3. Mellon F A. MASS SPECTROMETRY | Principles and Instrumentation[M]//Caballero B. Encyclopedia of Food Sciences and Nutrition (Second Edition). Oxford: Academic Press, 2003: 3739-3749.

  4. 河北医科大学药学院液质联用仪（LC-MS）基础应用培训: https://phalab.hebmu.edu.cn/resources/43/202206/1655099489971069569.pdf